“La solitudine dei numeri primi”, cosi recitava il titolo di un famoso best seller, scritto da Paolo Giordano nell’ormai lontano 2008. Il libro non parla di matematica, ne tantomeno dei numeri primi in particolare ma, proprio indagando un’interessante proprietà di questi ultimi, esplora e narra della profonda solitudine interiore che i protagonisti della storia condividono.
Pertanto, i riferimenti matematici sono due e riguardano, in prima istanza, il fatto che i numeri primi sono divisibili soltanto per se stessi e per l’unità e non possono essere rappresentati come prodotto di altri numeri e, in seconda istanza per noi più rappresentativa della metafora con cui si vuole rappresentare la vita dei due protagonisti, riguarda la distribuzione dei numeri primi.
Infatti, se noi consideriamo una successione di numeri interi 1,2,3…n, in modo tale che n sia via via sempre più grande crescendo indefinitamente, anche il numero di primi compresi tra 1 ed n crescerà indefinitamente, anche se in maniera più lenta.
Se proviamo a contare il numero di primi compresi in un intervallo di numeri interi limitati alle estremità da 1 ed n, e chiamiamo questo numero An, la densità dei numeri primi è espressa1 dal rapporto An/n. Quello che osserviamo è che al crescere del valore di n, la densità dei numeri primi tende a diminuire progressivamente ed inesorabilmente, ovvero tanto più grande sarà l’intervallo considerato tanto minore sarà la densità di primi in quell’intervallo.
Inoltre, il grande matematico Gauss, introducendo la funziona logaritmica in base naturale, osservò come questo rapporto fosse approssimativamente uguale a 1/log(n). Tradotto in numeri, per n uguale a 1000, il rapporto An/n è uguale a 0,168 e per n uguale ad 1000000 il rapporto An/n diviene esattamente 0,078498 e così via.
Al crescere di n, la differenza tra il rapporto An/n e la sua approssimazione 1/log(n) diviene sempre più piccola o, per meglio dire, che tanto più è grande l’estremo superiore dell’intervallo, n, tanto meglio la funzione logaritmo approssima la densità dei numeri prima di cui si è discusso prima (in altri termini, il rapporto tra An/n e 1/log(n) tende ad 1 al crescere di n).
Quindi, anche un po’ a dispetto del titolo del romanzo, è sorprendente osservare come due concetti apparentemente così lontani come quello di densità media della distribuzione dei numeri primi ed il logaritmo in base naturale di n siano in realtà intimamente connessi.
Se è pur vero che un primo è “solo” nella misura in cui esso non può essere scomposto come prodotto di altrettanti numeri, se non per se stesso e l’unità, di converso ogni numero intero maggiore dell’unità può essere scomposto in modo univoco in un prodotto di primi a meno, ovviamente, dell’ordine con cui si dispongono i numeri.
Quest’ultimo viene definito come Teorema fondamentale dell’aritmetica e divide l’insieme degli interi in due grandi categorie a seconda se un numero sia primo oppure possa essere scomposto univocamente come prodotto di numeri primi; un po’ come dire, secondo la metafora del libro, che la solitudine di un individuo è misurata non soltanto sulla base della distanza sociale che intercorre tra lo stesso individuo ed il resto del mondo ma anche, e sopratutto, dal “prodotto” di relazioni umane che si instaurano, o meno, tra individui.
Insomma, chi “nasce” primo non può “morire” fattorizzabile.
Daniele C.
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